表題に書いた命題を証明するためには、部分集合の定義に立ち戻ることと、命題Aが偽ならば命題Ｂの真偽を問わず、Ａ⇒Ｂが常になりたつということの2つを使います

集合Aが集合Bの部分集合であるとは、集合Aに属するどの要素も、集合Bにも属する　式で書けば

$\forall x\in{A} \Rightarrow x\in{B}$

が成り立つことでした。なので

集合Φ（空集合）が集合Bの部分集合である　とは、

$\forall x\in{\phi} \Rightarrow x\in{B}$

ということなので、これが示されれば証明できたことになります。

ところで論理式　$A \Rightarrow B$ は、$A$が偽（False）であれば、常になりたつことになっています。

空集合の定義は元をひとつも持たないことなので　$x\in{\phi} $　は常に「偽」です。前半部分が「偽」なので、以下の論理式は常に成り立つことになり、

$\forall x\in{\phi} \Rightarrow x\in{B}$

証明したかったことが言えたことになります。（証明終わり）

参考

1. 栗山 憲『論理・集合と位相空間入門』21ページ