結論から言うと、両者は同じではありませんが、密接に（「親と子」のように）関係しています。

• 教科書の式 (微分方程式):波が従わなければならない**「普遍的なルール（法則）」**です。
• 高校の式 ($y=A \sin …$):そのルールに従う、**「具体的な波の形（解）」**の一つです。

例えるなら、「$x^2 = 4$」という式（ルール）と、「$x = 2$」という「解（答え）」の関係に似ています。（もちろん $x = -2$ という別の解もあります）。

1. 教科書の波動方程式（ルール）

$$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} $$これは「波動方程式」と呼ばれる**微分方程式**です。これは波の「形」を一切示していません。その代わり、波が存在するために時々刻々（局所的に）満たされるべき**物理法則**を示しています。 この式が（直感的に）言っている内容はこうです。 * **左辺 $\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$ (空間の2回微分):** ある瞬間の波の「**空間的な曲がり具合（曲率）**」を表します。波の山が尖っているほど、この値は大きくなります。 * **右辺 $\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$ (時間の2回微分):** ある場所での波の「**時間的な加速度**」を表します。その点の媒質（例: 弦）がどれだけ急激に上下に加速されているかを示します。 * **式の意味:** 「波の、ある点での**空間的な曲がり具合**は、その点での**時間的な加速度**と（$1/v^2$ という係数で）比例する」 これが、弦の振動、音波、光（電磁波）など、あらゆる波に共通する**根本ルール**です。 —– ### 2\. 高校の式（ルールに従う「答え」の一つ） $$y(x, t) = A \sin(kx – \omega t) $$（高校で習う $y = A \sin(x – vt)$ は、定数を簡略化した形です。物理では $k$（波数）と $\omega$（角振動数）を使うのが一般的です） これは「**進行波の解**」と呼ばれる**関数**です。これは「ルール」ではなく、具体的な「形」を示しています。 * これは「振幅 $A$ のサインカーブの形が、時間 $t$ とともに $x$ 軸の正の方向に、速さ $v = \omega/k$ で進んでいく」様子を具体的に記述した式です。 —– ### 3\. ルールと答えの関係 なぜ高校で習う $y = A \sin(kx – \omega t)$ が「波」だと言えるのでしょうか？ それは、この関数が、教科書の「ルール（波動方程式）」を**ちゃんと満たしているから**です。 実際に、 $y = A \sin(kx – \omega t)$ を $x$ で2回微分（$\to$ 左辺）し、$t$ で2回微分（$\to$ 右辺）すると、 * 左辺: $\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = -A k^2 \sin(kx – \omega t)$ * 右辺: $\frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -A \omega^2 \sin(kx – \omega t)$ これを教科書のルール $\frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$ に代入すると、 $$-A k^2 \sin(…) = \frac{1}{v^2} \left( -A \omega^2 \sin(…) \right)

$$両辺を整理すると、 $k^2 = \omega^2 / v^2$ 、つまり $v = \omega/k$ となります。

これはサイン波の「速さ」の定義そのものです。つまり、この関数は、速さ $v = \omega/k$ で進む波として、波動方程式のルールを完璧に満たしているのです。

まとめ

高校で習う式は、無数にある波の「解」の中で、最も基本的で美しい「正弦波解（サイン波）」だった、というわけです。

ニュートンの運動方程式 $F=ma$ を、ピンと張った弦の「ごく小さな一部分」に適用することで、あの見慣れた微分方程式の形が現れます。

🌊 波動方程式の導出（弦の振動モデル）

1. モデルの設定

• 線密度 $\rho$ [kg/m] で均一な、細い弦を考えます。
• 弦は両端から強い力（張力 $T$ [N]）で水平に引っ張られています。
• 弦の変位 $y(x, t)$ は非常に小さい（微小振動）と仮定します。これにより、$\sin \theta \approx \tan \theta$ という重要な近似が使えます。
• 弦の重力や硬さ（曲げにくさ）は無視します。復元力は張力 $T$ のみとします。

2. 微小部分の運動方程式

弦の上の、位置 $x$ から $x + dx$ までの非常に短い「微小部分 $dx$」に注目します。

• 質量 $m$: この部分の質量は $m = \rho \cdot dx$ です。
• 加速度 $a$: この部分の垂直方向（y軸方向）の加速度は、位置 $x$ を固定したときの $y$ の時間に関する2回微分、すなわち $a = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$ です。

したがって、この微小部分に働く力 $F_y$ がわかれば、ニュートンの運動方程式 $F_y = ma$ は以下のようになります。

3. 力 $F_y$ の計算

この微小部分 $dx$ には、両端から張力 $T$ が接線方向に加わっています。

• 位置 $x$ での張力のy成分: $F_{y1} = -T \sin \theta_1$ （下向き）
• 位置 $x+dx$ での張力のy成分: $F_{y2} = +T \sin \theta_2$ （上向き）

よって、この微小部分に働く合力 $F_y$ は、

ここで「微小振動の近似」を使います。

変位が非常に小さいので、傾き $\theta$ も非常に小さいです。そのため、

と近似できます。

$\tan \theta$（タンジェント）は、まさに弦のグラフの「傾き」そのものですから、

と書けます。

これを力の式に戻すと、

となります。

4. 傾きの変化（2回微分）

$T \left[ (\text{位置 } x+dx \text{ での傾き}) – (\text{位置 } x \text{ での傾き}) \right]$ という形が出てきました。

これは、傾き $\frac{\partial y}{\partial x}$ が $dx$ の間にどれだけ「変化」したか、ということです。

微分の定義そのものを使って、この変化量は以下のように書けます。

（これは、関数 $f(x)$ について $f(x+dx) – f(x) \approx f'(x)dx$ としたのと同じです）

この結果を $F_y$ の式に代入すると、微小部分に働く力の正体がわかります。

力 $F_y$ は、弦の「空間的な曲がり具合（2回微分）」に比例していたのです。

5. 運動方程式の完成

これで $F_y$ と $ma$ の両方が準備できました。

• 力 $F$: $F_y = T \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} dx$
• 質量 $\times$ 加速度 $ma$: $ma = (\rho dx) \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$

これらを $F=ma$ の式に代入します。

両辺にある $dx$ を消去し、式を整理すると、

これが「波動方程式」です。

結論

最後に、式の $\frac{T}{\rho}$ の部分（張力を線密度で割ったもの）は $( \text{速度} )^2$ の次元を持っていることが知られています。

そこで $v^2 = T/\rho$ と定義し、 $v$ を「波の伝播速度」と呼びます。

これにより、最も標準的な波動方程式の形が導かれます。