実数の集合Aが有界なら集合Aの部分集合A’も有界であることを確かめましょう（吉田洋一　ルベグ積分入門　第II章 22ページ　問1）。
有界というのは、上界と下界が存在することでした。実数Mが集合Aの上界であるとは、集合Aからどんな要素を取ってきたとしても、つまり、$a\in{A}$ 、仮にそれをaとすると、$a ≤ M $　が成り立つということ。同様に下界m は　$ m ≤ a $ こと。つまり $ m ≤ a ≤ M $ のように下からと上から抑えられる状態です。

今、$A’ \subseteq A \subseteq \mathbb{R}$

部分集合の定義から $x’\in{A’}$　ならば　$x’\in{A}$ です。

集合Aの上界、下界の定義から　m ≤ x’ ≤M　となります。x’　は部分集合A’の任意の要素なので、部分集合A’は有界であると言えます。こうして、上記のことが確かめられました。

吉田洋一『ルベグ積分入門』が教育的な本だなあと思うのは、こんなに簡単な問に対しても、巻末に解が付されていることです。なので、独習するのに向いていると思います。ワードプレスでプラグインを使うと簡単に数式が書けるのが嬉しくて、中身はあまりないですが、書いてみました。字体が統一されていないので読みにくいですが。