連続体仮説とは？一番わかりやすい説明

要素（元）の個数が無限個ある無限集合は、個数が数えられません。しかしそんな無限集合に対して、「個数」を拡張した概念である「濃度」を考えることができます。この濃度という概念ですが、有限集合の要素の個数の常識が通用しません。

連続体仮説とは

自然数の濃度と、実数の濃度は異なるわけですが、じゃあその間の大きさの濃度を持つものはあるのでしょうか。そのようなものは存在しないと予想したのが、濃度という概念を導入したカントール（1845－1918）です。この予想は連続体仮説として有名です。

1940年にゲーデルが、連続体仮説をZFC公理系に加えても矛盾が生じないことを証明しました。

Kurt Gödel. The Consistency of the Continuum Hypothesis. Princeton University Press (1940)

コーエン(April 2, 1934-March 23, 2007)が、1963年～1964年の論文で、強制法(forcing）という手法により、連続体仮説の否定をZFC公理系に加えても矛盾が生じないことを証明しました。

Paul J. Cohen. The Independence of the Continuum Hypothesis. PNAS December 1, 1963 50 (6) 1143-1148; https://doi.org/10.1073/pnas.50.6.1143

Paul Cohen. The Independence of the Continuum Hypothesis II. Proc. Nat. Acad. Sci. USA 1964 Jan; 51 (1):105-110. doi: 10.1073/pnas.51.1.105

1966年にコーエンはフィールズ賞を受賞しています。
Paul J. Cohen. Set Theory and the Continuum Hypothesis. 1966. New York: W. A. Benjamin.

連続体仮説は正しいとも正しくないとも言えないという、なんとも不思議な結末になったのですね。

アミール・D・アクゼル　「無限」に魅入られた天才数学者たち

ネイチャーの姉妹紙Nature Machine Intelligenceに、Learnability can be undecidableという論文が発表されて、話題になったようです。