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定圧比熱と定容比熱との関係を表すマイヤーの関係式の導出方法【熱力学】

 
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定圧比熱Cpと定容比熱Cvとの関係を表す式として、マイヤーの関係式Cp=Cv+nR

というものがあります。ただしnはモル数、Rは気体定数です。この式は熱力学の第一法則

dU=δW+δQ —-①

から導出されます。Uは内部エネルギー、Wは系がされた仕事、Qは系が受け取った熱量です。

圧力pが一定のとき、定圧比熱の定義から、

δQ=Cp dT  —-②

体積Vが一定のとき、定容比熱の定義から、

δQ=Cv dT  —-③

系がされた仕事δW=-PdVと、②を①に代入して、

dU=-PdV+CpdT

これをdTで割ると、

∂U/∂T = -P(∂V/∂T)p + Cp  —-④

他方、③を①に代入して

dU=CvdT

ちなみに体積が一定のため仕事δWがゼロで、上式となります。これをdTで割ると

(∂U/∂T)v dT + (∂U/∂V)T dV   —-⑤   (Tは添え字です)

さてここで内部エネルギーがTとVの関数と考えると、

U=U(T,V)

この全微分は、

dU=(∂U/∂T)v dT + (∂U/∂V)T dV

圧力pが一定という条件で、dTで上式を割ると、

(∂U/∂T)p = (∂U/∂T)v + (∂U/∂V)T (∂V/∂T)p       —-⑥

④、⑤、⑥から、

∂∂

 

 

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