どんな統計学の教科書にも、一般の正規分布

f(x)=1/(√2π σ)  exp -(x-μ)^2 / 2σ^2

の式で変数変換 z = x-μ / σ

をして標準正規分布の式

f(z) = 1/√2π   exp -z^2 / 2　（関数名fは同じものを流用してしまいましたが別の関数）

が得られると書いてありますが、その導出には触れていません。

変数変換の式をxに関して解いたもの x = σz+μ　を元の式に入れても、

σが定数部分に残りますし、どうしたらいいのかわかりませんでした。

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の説明が一番自分の疑問に答えてくれるものでした。

確率密度関数を積分したものが累積密度関数（分布関数）なので、変数変換を考えるときには累積密度関数を考える必要があり、変数変換に伴って積分で　dx = σ dz の関係を用いるので、係数の分母のσ　が消えてくれるということみたいですね。

しかし数学の教科書は、途中の大事なことを全く書かずにさらっと結果だけを書いていることが多くて、数学の教科書とはそういうものという暗黙のルール、誰も口にしない常識（？）を知らないと、一瞬で躓きます。「～とすると、～である。」、「～とすると、～になる。」といった日本語が出てきたら要注意です。その場合、当たり前すぎて説明していない場合と、面倒くさ過ぎて説明していない場合の2通りがあるというのもまた、初学者が知らない暗黙の作法です。

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GPT-3.5による説明

質問：変数変換により一般正規分布から標準正規分布を求める数学的な過程を教えて。数式の変形を端折らずに詳しく。

回答：もちろんです。一般的な正規分布から標準正規分布への変数変換は、以下の手順に基づいています。一般的な正規分布が平均 $\mu$ と標準偏差 $\sigma$ を持つと仮定します。

1. 変数の定義: まず、一般的な正規分布の変数を $X$ とします。X∼N(μ,σ2)
2. 変数変換: 新しい変数 $Z$ を以下のように定義します。Z= X−μ /σ​これにより、新しい変数 $Z$ の平均は μ−μ​ /σ=0 であり、標準偏差は σ/σ​ =1 となります。
3. 確率密度関数の変換: $Z$ の確率密度関数を求めます。変数変換のヤコビアン（Jacobian）を考慮すると、確率密度関数 fZ​(z) は以下のようになります。fZ​(z)=1/σ ​⋅ fX​(μ+σz)ここで、fX​(x) は $X$ の確率密度関数です。
4. 一般正規分布の確率密度関数を代入: 一般的な正規分布の確率密度関数を代入します。一般的な正規分布の確率密度関数 fX​(x) は以下です。fX​(x)=1 / sqrt(2πσ^2)​ exp(−(x−μ)^2 / 2σ^2)​これを先ほどの式に代入して fZ​(z) を求めます。
5. 簡略化: 計算を進めて fZ​(z) を簡略化します。通常、指数関数や平方根を整理して簡略化された形になります。

この手順に従うと、一般正規分布から標準正規分布への変数変換を行うことができます。最終的に得られる $Z$ は平均が 0、標準偏差が 1 の標準正規分布に従います。ただし、手順を細かく追うと数式が複雑になることがありますので、計算を効率的に進めるためには代数的なテクニックが必要となります。