アートとサイエンス

ベクトルの外積

 
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ベクトルの内積はスカラーになりますが、ベクトルの外積は、ベクトルになります。3次元のベクトルa, b,があったとして、ベクトルa, bの外積abの向きは、右手の親指、人差し指、中指をそれぞれベクトルa, b, axbと考えると、覚えやすいです。つまりaからbにむかって右ネジを回したときのネジの進む向きがベクトルaxbの向きになります。axbの大きさはというと、aとbがつくる平行四辺形の面積になります。つまり、aの大きさ * bの大きさ * sinθ (ただしθはaとbがなす角)。外積の記号にxを使ったので、通常の数の掛け算の記号は*にしました。

成分で書くとどうなるでしょうか?

a=(a_x, a_y, a_z),

b=(b_x,b_y,b_z),

とします。本当はベクトルの成分を縦に書きたかったのですが、ブログだとかけないのでカンマで区切って横に並べました。添え字を小さくできないのでアンダーラインでつないで表記しています。さて、成分を計算する場合、単位ベクトルe1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1)を考えると計算が楽です。

a=a_x*e1+a_y*e2+a_z*e3,

b=b_x*e1+b_y*e2+b_z*e3,

なので、直交する単位ベクトル同士の外積=0になることと、分配法則が使えること、e1 x e3=-e2のようになることなどを使って計算してみると、

axb=(a_y*b_z – a_z*b_y,  a_z*b_x – a_x*b_z,  a_x*b_y – a_y*b_x)

と成分で書くことができます。

 

ウェブ学習リソース

  1. KIT数学ナビゲーション 外積の定義
  2. RAVCO ベクトルの外積
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