大学の授業に複素関数論がありましたが、全然面白味がわからず赤点で追試を受けました。一体、何の役にたつのでしょうか。
4つの学習スタイル：なぜ・何・どうやって・今すぐ で考えると、「なぜ」がわからない状態です。「何」かもわかっていません。どうやって使うのか、どうやって勉強すればいいのかもわかりません。
複素関解析って何？
複素解析 (complex analysis)は、あるいは関数論とも呼ばれるそうです。大学レベルの数学の話で単に解析といえば、複素解析を指すそう。
複素数上で定義された関数の微分法、積分法、変分法、微分方程式論、積分方程式論などの総称（複素解析 ウィキペディア）
なぜ複素関数解析を勉強する必要があるの？何の役に立つの？
なぜ複素解析を勉強する必要があるのかという疑問は、とりもなおさず、複素解析が一体何の役に立つのかという疑問です。物理のどんな場面で複素解析が威力を発揮するのでしょうか。
- 鉄球の表面の温度が分かっていれば、鉄球の中心の温度も計算から求められるのです。
- 純粋に数学の問題として、立体内部の温度が計算できると発見したのは、19世紀、ドイツのディリクレという数学者でした。
- ディリクレ問題を厳密に解くには微分方程式を用います。その解は「調和関数」と呼ばれる関数になります。
- 調和関数の理論は私の専攻する複素解析学という分野に属します。
（鉄球の温度と不思議な曲面ー最新の物理学を支える数学ー 理学部･数理科学科 石田 久教授 京都産業大学）
具体例としてわかりやすいですね。金属の表面温度がわかれば、内部の温度が計算から求まるというのは知りませんでした。数学さまさまです。
Δf = 0 を満たすとき、関数 f は調和 (harmonic) である、あるいは f は調和関数であるという。(調和関数 ウィキペディア）
複素数は何の役に立つのか？にヤフー知恵袋で回答されていました。
- 「工学」の世界では，空気の様に役立っています
- 複素数がなければ、今日のエレクトロニクス分野の発展はなかった
- 数学や科学を理解する上でこの上なく簡素化される。複素数なしで全てを理解するなら理論や計算がとてつもなく汚いものになってしまう
- 電流を表すのにiを使うからという理由で虚数単位をjにしなくてはいけないくらい，両者が共存
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1054846190
直流では「大きさ」だけを相手に戦えばよいのに、交流回路の計算では「大きさ」と 「位相差」の二つを相手にしなければならないから、ちょっとやっかいである。‥ ベクトル図が複素数という数式に変換できれば、数式の中に当然この「位相差」は考慮されているので、数式だけの処理で（代数的に）どんどん計算を進めていくことができることになるから大変便利である。（回路素子の複素数表示と正弦波交流回路計算 日本電気技術者協会）
複素数を使用して、その動作にうまく適合するさまざまなものをモデル化できます。たとえば、コンデンサやインダクタなどの特定の電気部品のインピーダンスは、周期的な電流に対する影響が大きさと位相の両方を変えるため、複素数で簡単にモデル化できます。（複素数は物理的に何を意味しますか QUORA）
上のQUORAの説明は、なるほどと思いました。実数にせよ複素数にせよ、物理的なものそのものと考えるよりも、その数学的な性質と適合する物理現象をモデル化するものと考えたほうがよいよということのようです。
複素数を持ち出すことで、まさに直流と交流の対称性が生まれ、なおかつ計算が死ぬほど易しくなったため、複素数の存在価値は非常に大きくなったと考えられます。https://soyokaze-biz.hatenablog.com/entry/2016/09/07/161043
- 複素数の存在意義と様々な例 高校数学の美しい物語
どうやって複素解析を学べばいいの？
山本 直樹 複素関数論の基礎 2015/11/28 裳華房 187ページ アマゾンレビュー：もはや教師不要（独学で躓きやすいところを全部先読みしてカバー） 到達点は留数定理 リーマン面や多価関数の積分は扱っていない 所要時間10分程度の式変形は省略 さまざまな工夫 読者の想像力を刺激 等角写像・高階微分・解析接続についての直観的理解のしかたが示されている
リュウエル・V.チャ-チル , ジェ-ムズ・ウォ-ド・ブラウン 複素関数入門 2008/7/1 数学書房 章末に500題以上の豊富な練習問題 アマゾンレビュー：初学者にやさしく書かれている 例題の量・質ともに、物理数学や電気数学としては、ちょうど良い 複素数の四則演算、積分定理、級数、解析接続、リーマン面、変換、留数、実積分、境界値問題
川平 友規 入門複素関数 2019/2/3 裳華房 233ページ アマゾンレビュー：学習者に対してすごくフレンドリー 著者のご専門がずばり複素解析 ほぼ全ての定理において詳しい証明と豊富な演習問題 入門書として秀逸な教科書 定理の証明は丁寧で、練習問題の解答も詳細 厳密に、しかし初心者にも理解できるように工夫 きちんと複素関数の基礎を勉強したい人に最適
E. クライツィグ Erwin Kreyszig 複素関数論 (技術者のための高等数学) 2003/3/12
馬場 敬之 複素関数キャンパス・ゼミ 改訂9 2022/8/16
石井 俊全 1冊でマスター 大学の複素関数 2022/7/9 技術評論社 アマゾンレビュー：数学専攻の本とは趣が違って工学部向け計算がメイン
近藤 慶一 物理数学講義: 複素関数とその応用 2022/3/2