平均値の定理は高3の数学で出てきたのだと思いますが、もう何十年も前のことなのですっかり忘れていました。そういえば受験参考書（駿台受験叢書 大学入試 新数学コメンタール）に載ってたような気がして見てみたら、266ページにありました。捨てずにとっておいてよかった。この本を数十年後に見返すことになるとは思いませんでした。
図付きで平均値の定理が何であるかが書いていました。
関数y=f(x)がa=<x<=bの範囲で連続なときに、a<x<bの範囲においてf'(x)が存在するのであれば、 f(b)-f(a) / b-a = f'(c)となるようなc （ただし a<c<b ）が存在する
というものです。
ただしネットでよく見かける平均値の定理はこの形でなくて、別の書き方を多くみかけるのですが、それに関しても説明がありました。それは、c = a + θ(b-a) ただし 0<θ<1 とおいて、
f(b) = f(a) + (b-a)f'(a + θ(b-a)) なるθが存在する
というものです。
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