「解析学」カテゴリーアーカイブ

ベッセル関数とは

ベッセル関数は、その関数を詳細に研究したベッセルという人（F. W. Bessel　1786-1846）にちなんで名づけられた関数です(1824年)。ベッセルはドイツの天文学者で惑星の動きの研究の過程でベッセルの微分方程式及びその解のベッセル関数を得たそうです。ちなみにベッセルの天文学者としての最初の顕著な業績は、ハレー彗星（Halley’s comet）の軌道を計算したことだそう。

ベッセルの微分方程式及びその解であるベッセル関数は、自然界の様々な物理現象のモデリングの際に登場します。一見全然関係ない現象がどれもベッセルの部分方程式で記述されて、ベッセル関数に従う挙動を示すというのはとても面白いものだと思います。

ベッセル関数と名付けられているくらいなので、最初の発見者がベッセルかと思いきや、実はそうではありません。ベッセル関数の発見者は数学者ダニエル・ベルヌイ（D. Bernoulli 　1700-1782)という人で、1732年に報告していますので、ベッセルの報告よりも92年も前のことなんですね。鉛直に垂らした鎖がどのような運動をするかを調べてベッセルの微分方程式やベッセル関数にたどり着いたみたいです。

Oscillation modes in a Hanging Chain 2021/02/04 BYU Physics & Astronomy

  1. Appendix: Daniel Bernoulli’s Papers on the Hanging Chain and the Linked Pendulum ダニエル・ベルヌイが垂らした鎖の振動を数学的に解析した原著論文のようです。
  2. Twirling hanging chainarundquist.wordpress.com
  3. Examples: Hanging chain studylib.net
  4. Verifying the Hanging Chain Model Michael A. Karls Department of Mathematical Sciences Ball State University January, 2014
  5. ダニエル・ベルヌーイ（Daniel Bernoulli, 1700年2月8日 – 1782年3月17日）（ウィキペディア）

ちなみにベルヌイ一族は、数学者の家系で歴史に名を残している人が何人もいるため、どの業績がどのベルヌイさんだったのかで混乱させられます。

  1. ヤコブ・ベルヌーイ（1654年 – 1705年）：ベルヌーイ数、ベルヌーイ試行、ベルヌーイ分布、ベルヌーイの不等式、ベルヌーイの微分方程式、大数の法則、e。
  2. ヨハン・ベルヌーイ（1667年 – 1748年） ：ヤコブの弟。ロピタルの定理。微積分法。最速降下曲線問題。
  3. ダニエル・ベルヌーイ（1700年 – 1782年）：ヨハンの息子。 流体力学のベルヌーイの定理。サンクトペテルブルクのパラドックス。ベルヌーイ=オイラーの梁理論。

数学者だらけの家系ですが、とりあえず上の3人のベルヌーイさんは、大学の数学や物理の勉強をしていると名前を聞くことがあると思います。

  1. DANIEL BERNOULLI (February 8, 1700 – March 17, 1782) by HEINZ KLAUS STRICK, Germany (PDF)
  2. ベルヌーイ家（ウィキペディア）
  3. ベルヌーイ家（コトバンク）　ヤコプJakob Bernoullis(1654‐1705)，ヨハンJohann B.(1667‐1748)，ダニエルDaniel B.(1700‐82)の3人が有名である。なお，ドイツ名のほかヤコプはジャックJacques，ヨハンはジャンJean，ニコラスはニコラNicolasのフランス名も用いられた。
  4. めっちゃ数学できる一族、ベルヌーイさん家の偉大すぎる功績　Hank Green（ハンク・グリーン）
  5. 流体の運動を解析する tottori-u.ac.jp

ベルヌイのあとにベッセル関数の研究をしたのは数学者のオイラー（Euler ）でした。オイラーは太鼓の皮がどんな振動をするかをあらわす微分方程式（ベッセル方程式）およびその解であるベッセル関数について1764年に論文報告しているそうです。太鼓に張った皮はどんな動きをするのでしょうか。下の動画を見ると、振動数に応じて単純な動きもあれば複雑な動きもすることがわかります。

Circular Membrane (drum head) Vibration 2009/03/31 Dan Russell

任意の初期条件に対する円形膜の時間発展（中心から離れた場所を叩いた場合）2012/10/23 遠藤理平

  1. GSL・VisualC++・OpenGLによる仮想物理実験室 円形膜（太鼓）の振動 natural-science.or.jp 題材としては、円形膜（太鼓）の振動を取り上げ、 物理学で非常によく出くわす、(1)「ヘルムホルツ方程式」、(2)「極座標形式」、(3)「関数の直交性と完全性」、(4)「境界条件」、(5)「初期条件」 などの概念の理解を目的とします。最終的には基準振動だけでなく、任意の膜の形状（初期条件）に対する時間発展の計算までを行います。

ベッセル微分方程式とベッセル関数

  1. Bessel Differential Equation Wolfram MathWorld
  2. Bessel function (Wikipedia)
  3. Bessel Differential Equation Math24
  4. Bessel Functions Book: Special Functions of Mathematics for Engineers, Second Edition Author(s): Larry C. Andrews Published: 1997 https://doi.org/10.1117/3.270709.ch6 無料Abstract
  5. 10.2: Bessel’s Equation　math.libretexts.org

参考記事・参考文献

  1. フロベニウスの方法とは：ベッセル方程式、第一種ベッセル関数を例に 2021年9月17日@kimu3_slime
  2. フロベニウスの方法：次数0の第二種ベッセル関数の求め方 2021年9月19日 @kimu3_slime
  3. UNIT 4 BESSEL FUNCTIONS（PDF)　egyankosh.ac.in　教科書のチャプター
  4. Frobenius 法　mecs.jp　横田壽の数理情報研究室
  5. 技術者のための高等数学 第1 (常微分方程式) 　E.クライツィグ 著 ; 田島一郎, 近藤次郎 共訳　章3 微分方程式のべき級数解 / p151 　3・1 べき級数法 / p151 　3・2 べき級数法の理論的根拠 / p155 　3・3 ルジャンドルの方程式,ルジャンドルの多項式 / p160 　3・4 拡張されたべき級数法,決定方程式 / p165 　3・5 ベッセルの方程式,第一種のベッセル関数 / p174 　3・6 第一種のベッセル関数の性質 / p179 　3・7 第二種のベッセル関数 / p183
  6. Bessel Functions and Equations of Mathematical Physics Final Degree Dissertation Degree in Mathematics Markel Epelde García Supervisor: Judith Rivas Ulloa Leioa, 25 June 2015