定圧比熱Cpと定容比熱Cvとの関係を表す式として、マイヤーの関係式Cp=Cv+nR

というものがあります。ただしｎはモル数、Rは気体定数です。この式は熱力学の第一法則

ｄU＝δW＋δQ　—-①

から導出されます。Uは内部エネルギー、Wは系がされた仕事、Qは系が受け取った熱量です。

圧力ｐが一定のとき、定圧比熱の定義から、

δQ＝Cp dT 　—-②

体積Vが一定のとき、定容比熱の定義から、

δQ＝Cv dT 　—-③

系がされた仕事δW＝－PdVと、②を①に代入して、

dU=-PdV+CpdT

これをｄTで割ると、

∂U/∂T = -P(∂V/∂T)p + Cp 　—-④

他方、③を①に代入して

ｄU＝CvdT

ちなみに体積が一定のため仕事δWがゼロで、上式となります。これをｄTで割ると

(∂U/∂T)v dT + (∂U/∂V)T dV  　—-⑤ 　　（Tは添え字です）

さてここで内部エネルギーがTとVの関数と考えると、

U=U(T,V)

この全微分は、

dU=(∂U/∂T)v dT + (∂U/∂V)T dV

圧力ｐが一定という条件で、ｄTで上式を割ると、

(∂U/∂T)p = (∂U/∂T)v + (∂U/∂V)T (∂V/∂T)p      　—-⑥

④、⑤、⑥から、

∂∂