竹村本（竹村彰通『現代数理統計学』）の67~68ページに、

期待値の線形性や分散に関する公式を用いれば

$E[\bar{X}]=μ, Var[\bar{X}]=σ^2 / n $

となる あります。標本平均の期待値が母平均であることは納得したのですが、

関連記事 ⇒ 標本平均の期待値が母平均であることの証明とひっかかったところの説明、疑問と解説

分散の方も自分で計算する必要があるなあと思ってやってみました。「標本平均の分散」を計算しないといけないのに、間違えて、「標本分散の期待値」の計算をしてしまいました。しかも何を間違えたのか、結果がゼロに。正しい計算は、

標本分散の一致性と不偏性　BellCurve統計WEB

にあります。答えは、(n-1)/n σ^2　になるそうです。標本分散の期待値は、母分散に n-1 / n を掛けたものになるというわけです。nが大きければこの係数は無視できますが、nが小さいと、母分散よりも標本分散のほうがちょっとだけ小さくなるというわけですね。

分散の公式は、定数倍した確率変数の分散は、その定数は外に出すときに2乗になるというものです。さて本題にもどって、標本平均の分散の計算は、下のサイトでわかりやすく説明されています。

標本平均の分散の計算

1. 標本平均と標本分散 標本平均の期待値 = 母平均 risalc.info
2. 確率変数の平均と分散—期待値の計算について 新保一成 2011 年 6 月 8 日 fbc.keio.ac.jp

結果は、母分散をnで割ったものになります。